2D变换¶
2D线性变换¶
线性变换是能够用矩阵直接表示的变换，包括缩放、反射、剪切、旋转等，平移不是线性变换。
2D线性变换的基本形式是：
\[
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]
缩放¶
- 均匀缩放：
\[
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
s & 0 \\
0 & s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]
- 非均匀缩放：
\[
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]
反射¶
- 水平反射矩阵：
\[
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
剪切¶
- 水平剪切矩阵：
\[
\begin{pmatrix}
1 & a \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
- 当 \(y=0\) 时水平偏移为 \(0\)，\(y=1\) 时水平偏移为 \(a\)。
旋转¶
- 绕原点逆时针旋转 \(\theta\) 的矩阵：
\[
R(\theta) =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\]
齐次坐标与仿射变换¶
齐次坐标的引入¶
为了能够用矩阵乘法表示平移，引入齐次坐标，为普通2D点和2D向量添加一个新的维度：
- 2D点：\((x, y, 1)^T\)
- 2D向量：\((x, y, 0)^T\)
- 操作规则：
- 向量 + 向量 = 向量
- 点 - 点 = 向量
- 点 + 向量 = 点
- 点 + 点 = 点（需归一化）
仿射变换的矩阵表示¶
仿射变换就是线性变换和平移的组合，可以用 \(3 \times 3\) 矩阵表示：
\[
\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a & b & t_x \\
c & d & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}
\]